\(E(X)\) est "la moyenne de \(X\)"
Définition :
Si la variable aléatoire discrète \(X\) est intégrable, alors elle a une espérance, qui vaut $${{E(X)}}={{\sum_{x_k\in X(\Omega)}x_kP(X=x_k)}}$$
(Variable aléatoire (Intégrabilité), Probabilité)
Soit \(X\) et \(Y\) deux v.a. Discrètes intégrable
Alors $${{E(\lambda X)}}={{\lambda E(X)}}\quad\text{ et }\quad {{E(X+Y)}}={{E(X)+E(Y)}}$$
(Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète intégrable
Alors $${{X\geqslant0}}\implies {{E(X)\geqslant0}}$$
(Positivité)
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète intégrable
Alors $$\begin{align} {{X\geqslant a}}\implies {{E(X)\geqslant a}}\\ {{X\leqslant a}}\implies {{E(X)\leqslant a}}\end{align}$$
Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires discrètes intégrables
Alors $${{X\leqslant Y}}\implies {{E(X)\leqslant E(Y)}}$$
Soit \(X\) et \(Z\) deux variables aléatoires discrètes
Si \(X\) est intégrable et si \(\lvert Z\rvert\leqslant\lvert X\rvert\), alors \(Z\) est intégrable
(//Théorème de comparaison)
Lemme :
Pour \(X\) une variable aléatoire à valeur dans \({\Bbb N}\), on a $${{E(X)}}={{\sum^{+\infty}_{i=1}P(X\geqslant i)}}$$ si cette série converge
(Théorème de transfert)Proposition :
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète et \(f:X(\Omega)\to{\Bbb R}\)
Leur composée est la variable aléatoire discrète \(f(X):\Omega\to{\Bbb R}\)
Alors on a : $${{E(f(X))}}={{\sum_{x_k\in X(\Omega)}f(x_k)P(X=x_k)}}$$ si cette série converge absolument et sinon, \(f(X)\) n'est pas intégrable
Proposition : $${{E(f(X_1,\dots,X_n))}}={{\sum_{x_1\in X_1(\Omega)}\dots\sum_{x_n\in X_n(\Omega)}f(x_1,\dots,x_n)P((X_1,\dots,X_n)=(x_1,\dots,x_n))}}$$
Proposition :
Si \(X\) est une v.a. Discrète intégrable, $${{\lvert E(X)\rvert}}\leqslant {{E(\lvert X\rvert)}}$$